还记得质数吧？这是一个3000年前的问题：

2、3、5、7 、11、13 、17 、19 、23 、29、 p。p是什么？31。下一个p是什么？这是37。后面的p呢？41.。然后呢？43。但是，你怎么知道接下来会发生什么？

给出一个预测下一个质数将是什么的公式（在任何给定的数字序列中），那么你的名字将永远和最伟大人联系在一起，类似于牛顿，爱因斯坦和哥德尔。

介绍

历史上许多数学巨人都研究过质数的性质。从欧几里得第一次证明素数有无限多个，到将素数与 ζ函数联系起来的欧拉乘积公式。从高斯和勒让德的素数定理公式到哈达玛德和德拉瓦莱普桑。伯恩哈德·黎曼仍然是在质数理论中取得最大突破的数学家。他的全部工作都包含在1859年发表的一篇8页的论文中，这篇论文对素数的分布做出了新的、前所未有的阐述，至今被认为是数论中最重要的论文之一。

自发表以来，黎曼的论文一直是质数理论的主要焦点，也是1896年质数定理证明的主要原因。此后又发现了一些新的证明，包括塞尔伯格的基本证明。然而，黎曼关于 ζ函数根的假说仍然是一个谜。

有多少质数？

让我们从简单的开始。我们都知道一个数要么是质数，要么是合数。所有合数都是由质数组成的，并且可以分解为质数乘积。公元前300年，欧几里得(就证明了它们的数量是无限的。证明过程非常经典，本篇文章就不再赘述。

为什么质数这么难理解？

即使对素数的算术性质进行了大量的研究，人们仍然对其知之甚少。科学界对我们缺乏理解质数行为的能力非常自信，以至于大数的因式分解是加密理论的基础之一。以下是一种看待它的方式。

我们很了解合数，它们是由素数组成的，很容易地写出一个公式来预测合数。最著名的例子是公元前200年的“埃拉托斯尼筛子”。它所做的，就是简单地标记每个质数的倍数直到一个限定。取质数2，标记4、6、8、10，以此类推。接着，取3，标记6、9、12、15，以此类推。剩下的只有质数。虽然很容易理解，但埃拉托斯提尼的筛子不是很有效。

有一个函数极大地简化了工作，那就是6n +/- 1。这个简单的函数取出除2和3之外的所有素数。代入n = 1、2、3、4、5、6、7，结果是，5、7、11、13、17、19 、23 25、29、31、35、37、41、43。函数生成的唯一非素数是25和35，它们分别可以被因式分解成5 x 5和5 x 7。下一个非素数是，49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11等等。

为了直观地说明这一点，我使用了一种我称之为“组合阶梯”的东西，这是一种简单的方法，可以看到函数生成的合数是如何为每个质数布局和组合的。在下图的前三列中，你可以清楚地看到质数5、7和11，它们各自的组合阶梯达到并包括91。第四列的混乱显示了筛子是如何除去除了质数之外的所有数的，这很好地说明了为什么质数如此难以理解。

基本概念

那么这些和黎曼假说有什么关系呢？简单地说，为了更多地了解质数，19世纪的数学家们不再试图绝对肯定地预测质数的位置，而是开始把质数作为一个整体来研究。这种分析方法是黎曼的拿手之处，也是他著名的假说产生的地方。然而，在我解释它之前，有必要熟悉一些基本的概念。

调和级数

调和级数是一个无穷数列，最早由尼古拉斯·奥雷斯姆在14世纪进行研究的。它的名字与音乐中的和声的概念有关。该系列的内容如下：

无穷次调和级数的第一项

这个和被奥瑞斯姆证明是发散的。

ζ函数

调和级数是ζ函数的特例。对于r和n两个实数，给出了如下函数：

代入n = 1，得到一个发散的调和级数。然而，对于所有n > 1，级数是收敛的。

欧拉积公式

欧拉证明了ζ函数与质数之间的第一个联系，对于n和p两个自然数，其中p是质数：

欧拉积公式，其中n, p都大于零且p是质数

这个表达最早出现在1737年的一篇题为《关于无穷级数的观察》的论文中。这个表达式表明，ζ函数的和等于：

这种惊人的联系奠定了现代质数理论的基础，从这一点开始，用ζ函数ζ(s)作为研究质数的一种方法。

欧拉积公式的证明

欧拉从一般的ζ函数开始

首先，两边同时乘以第二项：

然后从ζ函数中减去结果表达式：

重复这个过程，然后两边乘以第三项：

然后用函数减去结果的表达式：

重复这个过程直到无穷大，最后只剩下表达式：

欧拉构造的是一个筛子，很像埃拉托色尼的筛子。他把非质数从函数中过滤掉了。

然后将表达式除以所有素数倒数项，得到：

函数与质数的函数关系

简化后得到：

欧拉积公式，表示素数和函数之间联系的恒等式

代入s = 1，求无穷次调和级数，再一次证明素数有无穷多个。

默比乌斯函数

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯后来重写了欧拉积公式，创造了一个新的和。除了包含素数的倒数，莫比乌斯函数还包含所有素数因子的奇数和偶数乘积的自然数。他的级数中剩下的数是那些除以某个质数平方的数。其和，用μ(n)表示为：

莫比乌斯函数，欧拉乘积公式的修改版本，定义为所有自然数

和包含以下的倒数：

每一个质数；
每一个自然数，它是由奇数个不同素数的乘积，前面加一个减号；
以加每一个自然数，它是偶数和不同素数的乘积，前面加一个加号。

以下是第一项：

这个和不包含可以除以某个素数平方的数的倒数，例如4、8、9等等。

莫比乌斯函数μ(n)只接受三个可能的值：

莫比乌斯函数μ(n)的三个可能值

虽然最初由莫比乌斯正式定义，早在莫比乌斯定义的30多年前，高斯就在一篇旁注中对这个古怪的总和进行了深入的研究，他写道：

素数p的所有原始根的和是≡0，或≡±1，如果数是偶数，符号是正的，如果数是奇数，符号是负的。

素数计数函数

回到质数。为了理解质数在数轴上的分布情况。由高斯引入的质数计数函数π(x)就是这样做的，它给出了小于或等于给定实数的质数的数量。由于没有找到质数公式，我们只知道质数计数公式是一个图。下图显示了x = 200时的函数。

质数计数函数π(x)，x 取到200。

素数定理

质数定理也由高斯和勒让德独立发表：

用当x趋于无穷时，质数计数函数π(x)将逼近函数x/ln(x)，两者之间的比率将接近1。当x = 1000时，两个函数如下图所示：

在概率方面，质数定理指出，如果你随机选择一个自然数x，这个数成为质数的概率P(x)大约是1 / ln(x)。这意味着前x个整数中连续素数之间的平均差约为ln(x)。

对数积分函数

函数Li(x)定义为除x = 1外的所有正实数。它由2到x的积分定义：

对数积分函数的积分表示

将这个函数与质数计数函数和质数定理的公式画在一起，我们可以看到Li(x)实际上是一个比x/ln(x)更好的近似：

对数积分函数Li(x)，素数计数函数π(x)和x/ln(x)一起绘制。

这是一个多么好的近似值，如果我们做一个x值的表，可以看出：

在给定的十次幂以内的素数数目以及这两种估计的相应误差项

从这里可以很容易地看出，对数积分函数的近似值远远优于质数定理中的函数，仅在x = 10的14次方时“超调”了314,890个质数。然而，这两个函数都收敛于质数计数函数π(x)。Li(x)要快得多，但当x趋于无穷时，质数计数函数与Li(x)和x/ln(x)之间的比值趋于1。可视化为：

γ函数

自从丹尼尔·伯努利和克里斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究了将阶乘函数扩展到非整数参数的问题以来，γ函数 Γ(z)一直是一个重要的研究对象。它是阶乘函数n!向下移动1：

它的图形很奇怪：

γ函数Γ(z)被定义为z大于零的所有复值。复数使数学家和工程师能够计算和解决普通实数无法解决的问题。从视觉上看，复数将传统的一维“数轴”扩展为二维的“数平面”，称为复数平面，复数的实部绘制在x轴上，虚部绘制在y轴上。

为了能够使用γ函数Γ(z)，它通常被重写为这种形式：

利用这个等式，我们可以得到z < 0的值。然而，它没有给出负整数的值，因为它们没有定义（从技术上讲，它们是奇点）。

ζ和γ

ζ函数和γ函数之间的联系由以下积分给出：

波恩哈德·黎曼

我们已经掌握了必要的基础知识，我们终于可以开始把质数和黎曼假设联系起来了。

德国数学家伯恩哈德·黎曼于1826年出生于布雷斯伦茨。作为高斯的学生，黎曼发表了很多分析和几何领域的著作。他最大的贡献可能是在微分几何领域，在那里他奠定了几何语言的基础，后来用于爱因斯坦的广义相对论。

他在数论方面唯一的成就是1859年发表的论文《论小于给定数量级的质数》被认为是该领域最重要的论文。在短短的四页里，他概述了：

复值ζ函数ζ(s)的定义；
zeta函数对所有复数s≠1的解析延拓；
黎曼函数ξ(s)的定义，是通过γ函数与黎曼ζ函数关联的一个完整函数；
黎曼ζ函数的泛函方程的两个证明；
利用素数计数函数和莫比乌斯函数定义黎曼素数计数函数J(x)
利用黎曼素数计数函数求素数数目小于给定数的显式公式。

这是一项令人难以置信的壮举，这种壮举可能在那之后就再也没有见过了。

黎曼ζ函数

我们已经在欧拉的乘积公式中看到了质数和函数之间的密切关系。然而，除了这种联系之外，人们对它们之间的关系知之甚少，只有发明复数才能明确地表明它们之间的联系。

黎曼首先考虑了复变量s的ζ函数ζ(s)，其中s = σ +it。

其中s = σ +it是一个复数，其中σ和t都是实数。

黎曼ζ函数ζ(s)是一个对所有实部大于1（Re(s) > 1）的复数都是解析的（有定值）的无穷级数。在这个区域，它是绝对收敛的。

为了在正则收敛区以外的区域分析函数（当复变量s的实部大于1时），需要重新定义函数。黎曼通过解析延拓半平面上Re(s) > 0上的绝对收敛函数成功地做到了这一点。

黎曼ζ函数的重写形式，其中{x} = x – |x|

这个函数的新定义在半平面Re(s) > 0中处处是解析的;0，除了在s = 1处存在奇点。这在这个定义域内称为亚纯函数，因为它是全纯的（在其定义域内每个点的邻域内复可微），除了在奇点s = 1处。它也是狄利克雷l函数的一个很好的例子。

在他的论文中，黎曼并没有止步于此。他继续用γ函数 Γ(z)来分析他的ζ函数ζ(s)到整个复平面。为了保持本文的简单性，我不会在这里展示这个计算，但我强烈建议你自己阅读它，因为它非常好地展示了黎曼非凡的直觉和技术。

他的方法利用了“Γ(z)对于复数变量的积分表示”和“一个叫做雅克比ϑ函数ϑ(x)”的东西：

整个复平面的泛函方程，除了在s = 0和s = 1处的两个奇点

在这种形式下，我们可以看到ψ(s)项比x的任何次幂下降得更快，因此积分对s的所有值都收敛。

更进一步，黎曼注意到，如果用1 – s替换s，大括号中的第一项（-1 / s(1 – s) ）是不变的。

黎曼xi函数ξ(s)

黎曼ζ函数的零点

当ζ(s)=0时，ζ函数的根可以分为两种类型，它们被称为黎曼ζ函数的“平凡”零点和“非平凡”零点。

实部Re(s) < 0的零的存在性

平凡零点是很容易找到并解释的。它们在以下 ζ函数的函数形式中最容易被注意到：

黎曼泛函 ζ方程的一个变分

当sin项变为0时，这个乘积变为0。例如，对于一个负偶数s = -2n，函数变为0。然而，对于正偶数s = 2n, 0被γ函数Γ(z)的极点抵消了。这在原始的函数形式中更容易看出来，如果你代入s = 2n，这一项的第一部分就没有定义。

黎曼函数在每一个负偶数s = -2n处都是0。这些是平凡零，它们可以在下面的函数图中看到：

实部为Re(s) >的零点的存在性

由欧拉积公式可以看出，在s的实部大于1的区域，ζ(s)不可能为零，因为一个收敛的无穷积只有当其中一个因子为零时才可能为零。质数无限大的证明否定了这一点。

实部0≤Re(s)≤1的零点的存在性

我们已经找到了Re(s) < 0时，在负半平面上的零点，并且说明了说明在区域Re(s) >1中不可能有任何零点。

然而，在这两个区域之间的区域，被称为临界地带，是解析数理论在过去几百年里主要关注的地方。

黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 60区间内实部和虚部的曲线图

在上面的图中，我用红色标出了ζ(s)的实部，用蓝色标出了虚部。当s的实部为-2和-4时我们可以看到左下角的前两个零点。在0和1之间，我已经标出了临界地带，并标出了ζ的实部和虚部相交的地方。这些是非平凡零点的黎曼函数。在更高的值中，我们看到更多的0，以及两个看似随机的函数，随着s的虚部变大，它们的密度也越来越大。

黎曼ζ函数ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 120区间内实部和虚部的曲线图

黎曼Xi函数

我们定义了黎曼Xi函数ξ(s)为：

黎曼Xi函数（无奇点）

这个函数满足这个关系：

黎曼函数正负值之间的对称关系

即函数是关于垂直线Re(s) = 1/2对称的，ξ(1) = ξ(0)， ξ(2) = ξ(-1)，依此类推。这个函数关系结合欧拉积公式表明，黎曼xi函数ξ(s)在0≤Re(s)≤1范围内只能有0点。黎曼函数的零点就是黎曼函数的非平凡零点。从某种意义上说，黎曼ζ函数ζ(s)的临界线R(s) = 1/2对应于黎曼函数ξ(s)的实线Im(s) = 0。

看看上面的两个图，你应该马上注意到这样一个事实，黎曼ζ函数ζ(s)的所有非平凡零的实部Re(s)等于1/2。黎曼在他的论文中简要地点出了这一现象，这一短暂的评论最终成为他最伟大的遗产之一。